Introdução | Medidas descritivas e Probabilidade

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# Introdução | Medidas descritivas e Probabilidade
]
.author[
### Fernando Corrêa
]
.date[
### Fevereiro de 2024
]

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# Na última aula...

Definição: Estatística é o estudo da incerteza usando probabilidade

Incerteza para estatística quer dizer variabilidade

Exploramos histogramas e contagens como forma de caracterizar a variabilidade (incerteza) percebida em uma amostra de dados

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# Estatísticas descritivas

Em estatística tudo que podemos extrair da amostra se chama "estatística"

Contagens são estatísticas:

Número de dias em que choveu

Percentual de dias em que choveu

Tabelas são estatísticas

Gráficos (histogramas) são estatísticas

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# Estatísticas descritivas

Algumas estatísticas descritivas são muito tradicionais e úteis

A média provavelmente é a rainha das estatísticas descritivas

Ela serve essencialmente para duas coisas:

- Representar um "caso típico" dentro de uma amostra
- Caracterizar a distribuição dos dados por um único número
- Ajudar a calcular totais

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# Estatísticas descritivas | Média

Passo-a-passo do cálculo da média:

Observações numéricas:

`$x_1, x_2, x_3, x_4 = 1, 2, 4, 3$`

1. Somar os valores observados:

`$$\text{Total} = x_1+x_2+x_3+x_4 = 1+2+4+3 = 10$$`

2. Contar a quantidade de observações. Aqui temos `$4$`

3. Calcular a média: dividir o total pelo número de observações:

`$$\text{Média} = \frac{Total}{4} = \frac{10}{4} = 2.5$$`

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# Estatísticas descritivas | Média

Passo-a-passo do cálculo da média (caso geral):

Observações numéricas:

`$$x_1, x_2, x_3, x_4, x_5, ..., x_n$$`

`$n$` observações

1. Somar os valores observados:

`$$\text{Total} = x_1+x_2+x_3+x_4+...+x_n = \sum_{i=1}^n x_i$$`

`$\sum$` quer dizer "soma para todos os índices i entre 1 e `$n$`

2. Contar a quantidade de observações. Aqui temos `$n$`

3. Calcular a média: dividir o total pelo número de observações:

`$$\text{Média} = \frac{Total}{n} = \frac{\sum_{i=1}^n x_i}{n}$$`

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# Estatísticas descritivas | Média

Essa é a fórmula da média. Normalmente escrevemos também outros símbolos para representar esse número como por exemplo:

`$$\text{Média} = \bar{x} = \frac{\sum_{i=1}^n x_i}{n}$$`

`$$\text{Média} = \hat{\mu} = \frac{\sum_{i=1}^n x_i}{n}$$`

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# Média e histograma

![](probabilidade_files/figure-html/unnamed-chunk-2-1.png)

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# Média e histograma

```r
chuvas |>
  ggplot(aes(x = `Tair_mean (c)`)) +
  geom_histogram(
    bins = 6,
    color = 'white',
    fill = 'royalblue') +
  theme_bw(15) + 
  labs(x = "Temperatura do Ar",
       y = "Contagem") +
  scale_x_continuous(breaks = seq(16, 26)) 
```
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# Média e histograma

A média nesse caso vale: 22,3º:

![](probabilidade_files/figure-html/unnamed-chunk-4-1.png)

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# Média e histograma

A média não necessariamente fica na faixa mais alta do histograma

A média é muito impactada pelo modo com que os dados se espalham no eixo X

Aqueles dias que fizeram mais frio puxaram a média para baixo, porque o mais frequente é a temperatura do dia estar entre 23 e 24 graus.

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# Estatísticas descritivas | Medidas de dispersão

A média por si só não diz quão espalhadas estão as observações, só mais ou menos onde elas se concentram

Para ter ideia de "espalhamento" precisamos de alguma medida específica pra isso."Medidas de dispersão" ajudam a enteder esse "espalhamento"

As mais comuns são o desvio-padrão e desvio-médio, mas existem muitas medidas

Por exemplo, podemos adotar a **amplitude**, que inclusive é fácil de ver no histograma:

`$$\text{Máximo}(x_1, x_2, ..., x_n) - \text{Mínimo}(x_1, x_2, ..., x_n)$$`

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# Estatísticas descritivas | Medidas de dispersão

A média pode ser `$10$` e a amplitude pode ser qualquer valor:

`$$\text{Amostra_}1 = \{0, 10, 20\}$$`

Total = `$20+10+0$` = `$30$`

Média = `$30/3 = 10$`

Amplitude = `$Máximo(\text{Amostra_}1)-Mínimo(\text{Amostra_}2) = 20-0 = 20$`

`$$\text{Amostra_}2 = \{9, 10, 11\}$$`

Total = `$9+10+11$` = `$30$`

Média = `$30/3 = 10$`

Amplitude = `$Máximo(\text{Amostra_}1)-Mínimo(\text{Amostra_}2) = 11-9 = 2$`

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# Estatísticas descritivas | Desvio absoluto

Outra opção para caracterizar o "espalhamento" é uma medida como o **desvio absoluto**

A **amplitude** às vezes é muito grande porque existem muitos valores longe da média

O **desvio médio** trabalha com a ideia de "qual é a diferença média com relação a média"

Ou seja, vão existir valores que se distanciam mais e menos da média do que o desvio médio, mas muitos vão estar perto

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# Estatísticas descritivas | Desvio absoluto

Passo-a-passo do cálculo do desvio absoluto:

Observações numéricas:

`$x_1, x_2, x_3, x_4 = 1, 2, 4, 3$`

1. Calcule a média::

`$$\text{Média} = \frac{x_1+x_2+x_3+x_4}{4} = \bar{x} = \frac{1+2+4+3}{4} = \frac{10}{4} = 2.5$$`

2. Calcular os desvios (com relação a média):

`$$\text{Desvio-}1 = x_1-\bar{x} = 1-2.5 = -1.5$$`
`$$\text{Desvio-}2 = x_2-\bar{x} = 2-2.5 = -0.5$$`
`$$\text{Desvio-}3 = x_3-\bar{x} = 4-2.5 = 1.5$$`
`$$\text{Desvio-}4 = x_4-\bar{x} = 3-2.5 = 0.5$$`

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# Estatísticas descritivas | Desvio absoluto

3. Calcule os desvios absolutos:

`$$\text{Desvio-Absoluto-}1 = |x_1-\bar{x}| = |1-2.5| = |-1.5| = 1.5$$`
`$$\text{Desvio-Absoluto-}2 = |x_2-\bar{x}| = |2-2.5| = |-0.5| = 0.5$$`
`$$\text{Desvio-Absoluto-}3 = |x_3-\bar{x}| = |4-2.5| = |1.5| = 1.5$$`
`$$\text{Desvio-Absoluto-}4 = |x_4-\bar{x}| = |3-2.5| = |0.5| = 0.5$$`
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4. Calcule a média dos desvios absolutos (desvio absoluto médio):

`$$\text{Desvio Absoluto Médio} = \frac{1.5+0.5+1.5+0.5}{4} = \frac{4}{4} = 1$$`

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# Para que caracterizamos a incerteza?

Até o momento aprendemos a caracterizar um conjunto de observações por:

Contagem em geral (tabelas)

Histograma

Média

Amplitude

Desvio médio

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# Para que caracterizamos a incerteza?

Tudo isso serve para termos coisas para falar quando nos depararmos com uma base de dados, tabela, amostra, experimento etc

**Estatísticas** no fundo no fundo são só pequenos resuminhos que fazemos sobre o que acontece nos dados

A grande utilidade da estatística está no fato de, em várias situações, sabermos o que devemos esperar sobre essas estatísticas

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# Avaliando o lançamento de dados

Vamos voltar ao primeiro exemplo da aula passada, do lançamento dos dois dados:

O que deveríamos esperar sobre esses lançamentos? Médias indo de quanto a quanto? Qual deve ser o formato esperado do histograma? etc

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# Avaliando o lançamento de dados

Situações reais são mais ou menos assim:

Estou jogando um jogo de tabuleiro e estou achando os resultados dos dados meio estranhos

"Só sai 7!"

Suspeito que meu amigo esteja usando dados ruins, ou falsos ou qualquer coisa assim

Pra tentar usar meus conhecimentos de estatística lanço 10 vezes os dois dados juntos e quero comparar com o "esperado"

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# Avaliando o lançamento de dados

"O que deveríamos esperar sobre esses lançamentos?" é uma pergunta muito importante, mas não é a MAIS importante

A mais importante, a pergunta chave em TODA análise estatística deve ser:

(isso é muito importante, nunca se esqueça disso!!!!)

Como os meus dados foram gerados?

Responder essa pergunta, sem ser muito técnico num primeiro momento, é **contar uma história** sobre a geração dos dados e construir um diagrama que represente essa história

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# Avaliando o lançamento de dados

História:

1. Lançamos o dado branco e o vermelho ao mesmo tempo, com as duas mãos.

2. Somamos os dois resultados na variável "Soma".

Essa história combina com esse diagrama:

![](probabilidade_files/figure-html/unnamed-chunk-6-1.png)

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# Avaliando o lançamento de dados

![](probabilidade_files/figure-html/unnamed-chunk-7-1.png)

Não tem flecha de um dado pro outro porque os lançamentos são ao mesmo tempo e sem relação

As flechas saem de **DB** e **DV** e apontam para **Soma** pois essa variável é calculada a partir das anteriores

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# Modelo gerador de dados

Em posse da **história**, e consequentemente do **diagrama**, o passo seguinte é responder à pergunta "O que deveríamos esperar sobre esses lançamentos?"

Existem dois jeitos principais de responder essa pergunta:

- Estudar o que a matemática envolvida nos lançamentos de dados

(vamos deixar esse para depois)

- Simular o nosso banco de dados várias vezes e estudar as características dessa amostra

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# Modelo gerador de dados

No geral é mais complicado, mas para o caso do dado podemos simular quantos bancos de dados quisermos:

Fisicamente poderíamos pegar um par de dados do nosso jogo de tabuleiro favorito

Basta que a gente **confie** que esses dados não privilegiam nenhum número em particular

Podemos fazer simulações programando!

```r
dados_vermelho <- sample(1:6, size = 1)

dados_branco <- sample(1:6, size = 1)
```

```r
lancamentos_dados_branco_5x <- sample(1:6, size = 5, replace = TRUE)
```

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# Distribuições amostrais

Finalmente podemos responder à pergunta:

"O que esperamos que aconteça com as **estatísticas amostrais**?"

Essas "expectativas" são o que chamamos de **distribuição amostral**

Respostas que podemos obter a partir de simulações:

Em uma amostra de tamanho `$n=10$` lançamentos

"Qual % das amostras eu não observo nenhum 6?"

"Qual % das amostras eu não observado nenhum 7?"

"Qual percentual as amostras eu não observo nenhum 12?"

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# Distribuições amostrais

Tudo em estatística se baseia em conhecermos distribuições amostrais

Uma pergunta bem importante de tentarmos responder é:

"Será que a amostra que eu observei é compatível com o esperado?"

Em outras palavras: o dado é honesto?

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